Питання.

1. За якими формулами розраховуються проекція і модуль вектора переміщення тіла при його рівноприскореному русі зі стану спокою?

2. У скільки разів збільшиться модуль вектора переміщення тіла при збільшенні часу його руху зі стану спокою в n раз?

3. Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень тіла, що рухається рівноприскореному зі стану спокою, при збільшенні часу його руху в ціле число разів у порівнянні з t 1.

4. Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень, що здійснюються тілом за послідовні рівні проміжки часу, якщо це тіло рухається рівноприскореному зі стану спокою.

5. З якою метою можна використовувати закономірності (3) і (4)?

Закономірності (3) і (4) використовуються для визначення чи є рух рівноприскореному чи ні (див. Стор.33).

Вправи.

1. Що Відходить від станції поїзд протягом перших 20 з рухається прямолінійно і рівноприскореному. Відомо, що за третю секунду від початку руху поїзд пройшов 2 м. Визначте модуль вектора переміщення, вчиненого поїздом за першу секунду, і модуль вектора прискорення, з яким він рухався.

Швидкість (v) - фізична величина, чисельно дорівнює шляху (s), пройденого тілом за одиницю часу (t).

шлях

Шлях (S) - довжина траєкторії, по якій рухалася тіло, чисельно дорівнює добутку швидкості (v) тіла на час (t) руху.

час руху

Час руху (t) дорівнює відношенню шляху (S), пройденого тілом, до швидкості (v) руху.

Середня швидкість

Середня швидкість (vср) дорівнює відношенню суми ділянок шляху (s 1 s 2, s 3, ...), пройденого тілом, до проміжку часу (t 1 + t 2 + t 3 + ...), за який цей шлях пройдено .

Середня швидкість - це відношення довжини шляху, пройденого тілом, до часу, за який цей шлях був пройдений.

Середня швидкість при нерівномірному русі по прямій: це відношення всього шляху до всього часу.

Два послідовні етапи з різними швидкостями: де

При вирішенні завдань - скільки етапів руху стільки буде складових:

Проекції вектора переміщення на осі координат

Проекція вектора переміщення на вісь ОХ:

Проекція вектора переміщення на вісь OY:

Проекція вектора на вісь дорівнює нулю, якщо вектор перпендикулярний осі.

Знаки проекцій переміщення: проекцію вважають позитивною, якщо рух від проекції початку вектора до проекції кінця відбувається в напрямі осі, і негативною, якщо проти осі. В даному прикладі

модуль переміщення - це довжина вектора переміщення:

По теоремі Піфагора:

Проекції переміщення і кут нахилу

В даному прикладі:

Рівняння координати (в загальному вигляді):

Радіус-вектор - вектор, початок якого збігається з початком координат, а кінець - з положенням тіла в даний момент часу. Проекції радіус-вектора на осі координат визначають координати тіла в даний момент часу.

Радіус-вектор дозволяє задати положення матеріальної точки в заданій системі відліку:

Рівномірний прямолінійний рух - визначення

Рівномірний прямолінійний рух - рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу, робить рівні переміщення.

Швидкість при рівномірному прямолінійному русі. Швидкість - векторна фізична величина, яка показує, яке переміщення здійснює тіло за одиницю часу.

У векторному вигляді:

У проекціях на вісь ОХ:

Додаткові одиниці виміру швидкості:

1 км / ч \u003d 1000 м / 3600 с,

1 км / с \u003d 1000 м / с,

1 см / с \u003d 0,01 м / с,

1 м / хв \u003d 1 м / 60 с.

Вимірювальний прилад - спідометр - показує модуль швидкості.

Знак проекції швидкості залежить від напрямку вектора швидкості і осі координат:

Графік проекції швидкості являє собою завісіость проекції швидкості від часу:

Графік швидкості при рівномірному прямолінійному русі - пряма, паралельна осі часу (1, 2, 3).

Якщо графік лежить над віссю часу (.1), то тіло рухається в напрямі осі ОХ. Якщо графік розташований під віссю часу, то тіло рухається проти осі ОХ (2, 3).

Геометричний сенс переміщення.

При рівномірному прямолінійному русі переміщення визначають за формулою. Такий же результат отримаємо, якщо обчислимо площу фігури під графіком швидкості в осях. Значить, для визначення шляху і модуля переміщення при прямолінійній русі необхідно обчислювати площу фігури під графіком швидкості в осях:

Графік проекції переміщення - залежність проекції переміщення від часу.

Графік проекції переміщення при рівномірному прямолінійному русі - пряма, що виходить з початку координат (1, 2, 3).

Якщо пряма (1) лежить над віссю часу, то тіло рухається в напрямі осі ОХ, а якщо під віссю (2, 3), то проти осі ОХ.

Чим більше тангенс утла нахилу (1) графіка, тим більше модуль швидкості.

Графік координати - залежність координати тіла від часу:

Графік координати при рівномірному прямолінійному русі - прямі (1, 2, 3).

Якщо з плином часу координата збільшується (1, 2), то тіло рухається в напрямі осі ОХ; якщо координата зменшується (3), то тіло рухається проти напрямку осі ОХ.

Чим більше тангенс кута нахилу (1), тим більше модуль швидкості.

Якщо графіки координат двох тіл перетинаються, то з точки перетину слід опустити перпендикуляри на вісь часу і вісь координат.

Відносність механічного руху

Під относительностью ми розуміємо залежність чого-небудь від вибору системи відліку. Наприклад, спокій відносний; рух щодо і положення тіла відносно.

Правило складання переміщень. Векторна сума переміщень

де - переміщення тіла відносно рухомої системи відліку (ПСО); - переміщення ПСО відносно нерухомої системи відліку (НСО); - переміщення тіла відносно нерухомої системи відліку (НСО).

Векторне складання:

Сума векторів, спрямованих уздовж однієї прямої:

Сума векторів, перпендикулярних один одному

По теоремі Піфагора

Виведемо формулу, за допомогою якої можна розрахувати проекцію вектора переміщення тіла, що рухається прямолінійно і рівноприскореному, за будь-який проміжок часу. Для цього звернемося до малюнка 14. Як на малюнку 14, а, так і на малюнку 14, б відрізок АС являє собою графік проекції вектора швидкості тіла, що рухається з постійним прискоренням а (при початковій швидкості v 0).

Мал. 14. Проекція вектора переміщення тіла, що рухається прямолінійно і рівноприскореному, чисельно дорівнює площі S під графіком

Нагадаємо, що при прямолінійному рівномірному русі тіла проекція вектора переміщення, вчиненого цим тілом, визначається за тією ж формулою, що і площа прямокутника, укладеного під графіком проекції вектора швидкості (див. Рис. 6). Тому проекція вектора переміщення чисельно дорівнює площі цього прямокутника.

Доведемо, що і в разі прямолінійного рівноприскореного руху проекцію вектора переміщення sx можна визначати по тій же формулі, що і площа фігури, укладеної між графіком АС, віссю Ot і відрізками ОА і ВС, т. Е. Що і в цьому випадку проекція вектора переміщення чисельно дорівнює площі фігури під графіком швидкості. Для цього на осі Ot (див. Рис. 14, а) виділимо маленький проміжок часу db. З точок d і b проведемо перпендикуляри до осі Ot до їх перетину з графіком проекції вектора швидкості в точках а і с.

Таким чином, за проміжок часу, відповідний відрізку db, швидкість тіла змінюється від v ах до v cx.

За досить малий проміжок часу проекція вектора швидкості змінюється дуже незначно. Тому рух тіла протягом цього проміжку часу мало відрізняється від рівномірного, т. Е. Від руху з постійною швидкістю.

На такі смужки можна розбити всю площу фігури ОАСВ, що є трапецією. Отже, проекція вектора переміщення sx за проміжок часу, відповідний відрізку ОВ, чисельно дорівнює площі S трапеції ОАСВ і визначається за тією ж формулою, що і ця площа.

Згідно з правилом, наведеним в шкільних курсах геометрії, площа трапеції дорівнює добутку півсуми її підстав на висоту. З малюнка 14, б видно, що підставами трапеції ОАСВ є відрізки ОА \u003d v 0x і ВС \u003d v x, а висотою - відрізок OB \u003d t. отже,

Оскільки v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, то можна записати:

Таким чином, ми отримали формулу для розрахунку проекції вектора переміщення при рівноприскореному русі.

З цієї ж формулою розраховують проекцію вектора переміщення та при русі тіла з зменшується по модулю швидкістю, тільки в цьому випадку вектори швидкості і прискорення будуть спрямовані в протилежні сторони, тому їх проекції матимуть різні знаки.

питання

1. Користуючись малюнком 14, а, доведіть, що проекція вектора переміщення при рівноприскореному русі чисельно дорівнює площі фігури ОАСВ.
2. Запишіть рівняння для визначення проекції вектора переміщення тіла при його прямолінійному рівноприскореному русі.

Вправа 7

Сторінка 8 з 12

§ 7. Переміщення при рівноприскореному
прямолінійній русі

1. Використовуючи графік залежності швидкості від часу, можна отримати формулу переміщення тіла при рівномірному прямолінійному русі.

На малюнку 30 наведено графік залежності проекції швидкості рівномірного руху на вісь X від часу. Якщо силу поставити перпендикуляр до осі часу в деякій точці C, То отримаємо прямокутник OABC. Площа цього прямокутника дорівнює добутку сторін OA і OC. Але довжина сторони OA дорівнює v x, А довжина сторони OC - t, звідси S = v x t. Твір проекції швидкості на вісь X і часу одно проекції переміщення, т. е. s x = v x t.

Таким чином, проекція переміщення при рівномірному прямолінійному русі чисельно дорівнює площі прямокутника, обмеженого осями координат, графіком швидкості і перпендикуляром, восставленний до осі часу.

2. Отримаємо аналогічним чином формулу проекції переміщення при прямолінійній рівноприскореному русі. Для цього скористаємося графіком залежності проекції швидкості на вісь X від часу (рис. 31). Виділимо на графіку мала ділянка ab і опустимо перпендикуляри з точок a і b на вісь часу. Якщо проміжок часу D t, Відповідний ділянці cd на осі часу, малий, то можна вважати, що швидкість протягом цього проміжку часу не змінюється і тіло рухається рівномірно. В цьому випадку фігура cabd мало відрізняється від прямокутника і її площа чисельно дорівнює проекції переміщення тіла за час, відповідне відрізку cd.

На такі смужки можна розбити всю фігуру OABC, І її площа буде дорівнює сумі площ всіх смужок. Отже, проекція переміщення тіла за час t чисельно дорівнює площі трапеції OABC. З курсу геометрії ви знаєте, що площа трапеції дорівнює добутку півсуми її підстав і висоти: S= (OA + BC)OC.

Як видно з малюнка 31, OA = v 0x , BC = v x, OC = t. Звідси випливає, що проекція переміщення виражається формулою: s x= (v x + v 0x)t.

При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла в будь-який момент часу дорівнює v x = v 0x + a x t, Отже, s x = (2v 0x + a x t)t.

Щоб отримати рівняння руху тіла, підставимо в формулу проекції переміщення її вираження через різницю координат s x = x – x 0 .

отримаємо: x – x 0 = v 0x t +, Або

x = x 0 + v 0x t + .

За рівняння руху можна визначити координату тіла в будь-який момент часу, якщо відомі початкова координата, початкова швидкість і прискорення тіла.

3. На практиці часто зустрічаються задачі, в яких потрібно знайти переміщення тіла при рівноприскореному прямолінійному русі, але час руху при цьому невідомо. У цих випадках використовують іншу формулу проекції переміщення. Отримаємо її.

З формули проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху v x = v 0x + a x t висловимо час:

Підставивши цей вираз в формулу проекції переміщення, отримаємо:

s x = v 0x + .

s x = , або
–= 2a x s x.

Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю, то:

2a x s x.

4. Приклад рішення задачі

Лижник з'їжджає зі схилу гори зі стану спокою з прискоренням 0,5 м / с 2 за 20 с і далі рухається по горизонтальній ділянці, проїхавши до зупинки 40 м. З яким прискоренням рухався лижник по горизонтальній поверхні? Яка довжина схилу гори?

дано:
v 01 = 0 a 1 \u003d 0,5 м / с 2 t 1 \u003d 20 з s 2 \u003d 40 м v 2 = 0	Рух лижника складається з двох етапів: на першому етапі, спускаючись зі схилу гори, лижник рухається зі зростаючою за модулем швидкістю; на другому етапі при русі по горизонтальній поверхні його швидкість зменшується. Величини, що відносяться до першого етапу руху, запишемо з індексом 1, а до другого етапус індексом 2.
a2? s1?

Систему відліку зв'яжемо із Землею, вісь X направимо у напрямку швидкості лижника на кожному етапі його руху (рис. 32).

Запишемо рівняння для швидкості лижника в кінці спуску з гори:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

У проекціях на вісь X отримаємо: v 1x = a 1x t. Оскільки проекції швидкості прискорення на вісь X позитивні, модуль швидкості лижника дорівнює: v 1 = a 1 t 1 .

Запишемо рівняння, що зв'язує проекції швидкості, прискорення і переміщення лижника на другому етапі руху:

–= 2a 2x s 2x .

З огляду на, що початкова швидкість лижника на цьому етапі руху дорівнює його кінцевої швидкості на першому етапі

v 02 = v 1 , v 2x \u003d 0 отримаємо

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Звідси a 2 = ;

a 2 \u003d\u003d 0,125 м / с 2.

Модуль переміщення лижника на першому етапі руху дорівнює довжині схилу гори. Запишемо рівняння для переміщення:

s 1x = v 01x t + .

Звідси довжина схилу гори дорівнює s 1 = ;

s 1 \u003d\u003d 100 м.

відповідь: a 2 \u003d 0,125 м / с 2; s 1 \u003d 100 м.

Питання для самоперевірки

1. Як за графіком залежності проекції швидкості рівномірного прямолінійного руху на вісь X

2. Як за графіком залежності проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху на вісь X від часу визначити проекцію переміщення тіла?

3. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла при рівноприскореному прямолінійному русі?

4. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла, що рухається рівноприскореному і прямолінійно, якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю?

завдання 7

1. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля за 2 хв, якщо за цей час його швидкість змінилася від 0 до 72 км / год? Яка координата автомобіля в момент часу t \u003d 2 хв? Початкову координату вважати рівною нулю.

2. Поїзд рухається з початковою швидкістю 36 км / год і ускореніем0,5 м / с 2. Чому рівні переміщення поїзда за 20 с і його координата в момент часу t \u003d 20 с, якщо початкова координата поїзда 20 м?

3. Яке переміщення велосипедиста за 5 с після початку гальмування, якщо його початкова швидкість при гальмуванні дорівнює 10 м / с, а прискорення становить 1,2 м / с 2? Чому дорівнює координата велосипедиста в момент часу t \u003d 5 с, якщо в початковий момент часу він перебував на початку координат?

4. Автомобіль, що рухається зі швидкістю 54 км / год, зупиняється при гальмуванні протягом 15 с. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля при гальмуванні?

5. Два автомобіля рухаються назустріч один одному з двох населених пунктів, що знаходяться на відстані 2 км один від одного. Початкова швидкість одного автомобіля 10 м / с і прискорення 0,2 м / с 2, початкова швидкість іншого - 15 м / с і прискорення 0,2 м / с 2. Визначте час і координату місця зустрічі автомобілів.

Лабораторна робота № 1

дослідження рівноприскореного
прямолінійного руху

Мета роботи:

навчитися вимірювати прискорення при рівноприскореному прямолінійному русі; експериментально встановити відношення шляхів, прохідних тілом при рівноприскореному прямолінійному русі за послідовні рівні проміжки часу.

Прилади й матеріали:

жолоб, штатив, металева кулька, секундомір, вимірювальна стрічка, циліндр металевий.

Порядок виконання роботи

1. Зміцніть в лапці штатива один кінець жолоба так, щоб він становив невеликий кут з поверхнею стола.У іншого кінця жолоба покладіть в нього циліндр металевий.

2. Виміряйте шляху, прохідні кулькою за 3 послідовних проміжку часу, рівних 1 з кожен. Це можна зробити по-різному. Можна поставити крейдою на жолобі мітки, які фіксують положення кульки в моменти часу, що дорівнюють 1 с, 2 с, 3 с, і виміряти відстані s_ між цими мітками. Можна, відпускаючи кожен раз кульку з однієї і тієї ж висоти, виміряти шлях s, Пройдений їм спочатку за 1 с, потім за 2 с і за 3 с, а потім розрахувати шлях, пройдений кулькою за другу і третю секунди. Результати вимірювань запишіть у таблицю 1.

3. Знайдіть відносини шляху, пройденого за другу секунду, до шляху, пройденого за першу секунду, і шляху, пройденого за третю секунду, до шляху, пройденого за першу секунду. Зробіть висновок.

4. Виміряйте час руху кульки по жолобу і пройденнийім шлях. Обчисліть прискорення його руху, використовуючи формулу s = .

5. Використовуючи експериментально отримане значення прискорення, обчисліть шляху, які повинен пройти кульку за першу, другу і третю секунди свого руху. Зробіть висновок.

Таблиця 1

№ досвіду	експериментальні дані					теоретичні результати
	час t , з	шлях s , см	час t , з	шлях s, см	Прискорення a, см / с2	часt, з	шлях s , см
1	1		1

Як, знаючи гальмівний шлях, визначити початкову швидкість автомобіля і як, знаючи характеристики руху, такі як початкова швидкість, прискорення, час, визначити переміщення автомобіля? Відповіді ми отримаємо після того, як познайомимося з темою сьогоднішнього уроку: «Переміщення при рівноприскореному русі, залежність координати від часу при рівноприскореному русі»

При рівноприскореному русі графік має вигляд прямої лінії, що йде вгору, так як його проекція прискорення більше нуля.

При рівномірному прямолінійному русі площа чисельно дорівнюватиме модулю проекції переміщення тіла. Виявляється, цей факт можна узагальнити для випадку не тільки рівномірного руху, але і для будь-якого руху, тобто показати, що площа під графіком чисельно дорівнює модулю проекції переміщення. Це робиться строго математично, але ми скористаємося графічним способом.

Мал. 2. Графік залежності швидкості від часу при рівноприскореному русі ()

Розіб'ємо графік проекції швидкості від часу для рівноприскореного руху на невеликі проміжки часу Δt. Припустимо, що вони настільки малі, що на їх протягом швидкість практично не змінювалася, тобто графік лінійної залежності на малюнку ми умовно перетворимо в драбинку. На кожній її сходинці ми вважаємо, що швидкість практично не змінилася. Уявімо, що проміжки часу Δt ми зробимо нескінченно малими. В математиці кажуть: здійснюємо граничний перехід. У цьому випадку площа такої драбинки буде необмежено близько збігатися з площею трапеції, яку обмежує графік V x (t). А це означає, що і для випадку рівноприскореного руху можна сказати, що модуль проекції переміщення чисельно дорівнює площі, обмеженої графіком V x (t): осями абсцис і ординат і перпендикуляром, опущеним на вісь абсцис, тобто площі трапеції ОАВС, яку ми бачимо на малюнку 2.

Завдання з фізичної перетворюється в математичну задачу - пошук площі трапеції. Це стандартна ситуація, коли вчені фізики складають модель, яка описує те чи інше явище, а потім в справу вступає математика, яка збагачує цю модель рівняннями, законами - тим, що перетворює модель в теорію.

Знаходимо площа трапеції: трапеція є прямокутної, так як кут між осями - 90 0, розіб'ємо трапецію на дві фігури - прямокутник і трикутник. Очевидно, що загальна площа буде дорівнює сумі площ цих фігур (рис. 3). Знайдемо їх площі: площа прямокутника дорівнює добутку сторін, тобто V 0x · t, площа прямокутного трикутника буде дорівнює половині твори катетів - 1 / 2АD · BD, підставивши значення проекцій, отримаємо: 1 / 2t · (V x - V 0x), а, згадавши закон зміни швидкості від часу при рівноприскореному русі: V x (t) \u003d V 0x + а х t, абсолютно очевидно, що різниця проекцій швидкостей дорівнює добутку проекції прискорення а х на час t, тобто V x - V 0x \u003d а х t.

Мал. 3. Визначення площі трапеції ( джерело)

З огляду на той факт, що площа трапеції чисельно дорівнює модулю проекції переміщення, отримаємо:

S х (t) \u003d V 0 x t + а х t 2/2

Ми з вами отримали закон залежності проекції переміщення від часу при рівноприскореному русі в скалярною формі, в векторній формі він буде виглядати так:

(T) \u003d t + t 2/2

Виведемо ще одну формулу для проекції переміщення, в яку не входитиме в якості змінної час. Вирішимо систему рівнянь, виключивши з неї час:

S x (t) \u003d V 0 x + а х t 2/2

V x (t) \u003d V 0 x + а х t

Уявімо, що час нам невідомо, тоді висловимо час з другого рівняння:

t \u003d V x - V 0x / а х

Підставами отримане значення в перше рівняння:

Отримаємо таке громіздке вираження, зведемо в квадрат і наведемо подібні:

Ми отримали дуже зручне вираз проекції переміщення для випадку, коли нам невідомо час руху.

Нехай у нас початкова швидкість автомобіля, коли почалося гальмування, становить V 0 \u003d 72 км / год, кінцева швидкість V \u003d 0, прискорення а \u003d 4 м / с 2. Дізнаємося довжину гальмівного шляху. Перевівши кілометри в метри і підставивши значення в формулу, отримаємо, що гальмівний шлях складе:

S x \u003d 0 - 400 (м / с) 2 / -2 · 4 м / с 2 \u003d 50 м

Проаналізуємо таку формулу:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 · t

Проекція перемещенія- це полусумма проекцій початкової та кінцевої швидкостей, помножена на час руху. Згадаймо формулу переміщення для середньої швидкості

S x \u003d V ср · t

У разі рівноприскореного руху середня швидкість буде:

V ср \u003d (V 0 + V к) / 2

Ми впритул підійшли до вирішення головного завдання механіки равноускоренного руху, тобто отримання закону, за яким змінюється координата згодом:

х (t) \u003d х 0 + V 0 x t + а х t 2/2

Для того щоб навчитися користуватися цим законом, розберемо типову задачу.

Автомобіль, рухаючись зі стану спокою, набуває прискорення 2 м / с 2. Знайти шлях, який пройшов автомобіль за 3 секунди і за третю секунду.

Дано: V 0 x \u003d 0

Запишемо закон, за яким змінюється переміщення з часом при

рівноприскореному русі: S х \u003d V 0 x t + а х t 2/2. 2 c

Ми можемо відповісти на перше питання задачі, підставивши дані:

t 1 \u003d 3 c S 1х \u003d а х t 2/2 \u003d 2 · 3 2/2 \u003d 9 (м) - це шлях, який пройшов

c автомобіль за 3 секунди.

Дізнаємося скільки він проїхав за 2 секунди:

S х (2 с) \u003d а х t 2/2 \u003d 2 · 2 2/2 \u003d 4 (м)

Отже, ми з вами знаємо, що за дві секунди автомобіль проїхав 4 метри.

Тепер, знаючи два ці відстані, ми можемо знайти шлях, який він пройшов за третю секунду:

S 2х \u003d S 1х + S х (2 с) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (м)

рівноприскореному рухом називають такий рух, при якому вектор прискорення залишається незмінним по модулю і напрямку. Прикладом такого руху є рух каменя, кинутого під деяким кутом до горизонту (без урахування опору повітря). У будь-якій точці траєкторії прискорення каменю дорівнює прискоренню вільного падіння. Таким чином, вивчення рівноприскореного руху зводиться до вивчення прямолінійного рівноприскореного руху. У разі прямолінійного руху вектори швидкості і прискорення спрямовані вздовж прямої руху. Тому швидкість і прискорення в проекціях на напрямок руху можна розглядати як алгебраїчні величини. При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла визначається формулою (1)

У цій формулі - швидкість тіла при t = 0 (початкова швидкість ), \u003d Const - прискорення. У проекції на вибрану вісь х рівняння (1) запишеться у вигляді: (2). На графіку проекції швидкості υ х ( t) Ця залежність має вигляд прямої лінії.

За нахилу графіка швидкості може бути визначено прискорення a тіла. Відповідні побудови виконані на рис. для графіка I Прискорення чисельно дорівнює відношенню сторін трикутника ABC: .

Чим більше кут β, який утворює графік швидкості з віссю часу, т. Е. Чим більше нахил графіка ( крутизна), Тим більше прискорення тіла.

Для графіка I: υ 0 \u003d -2 м / с, a \u003d 1/2 м / с 2. Для графіка II: υ 0 \u003d 3 м / с, a \u003d -1/3 м / с 2.

Графік швидкості дозволяє також визначити проекцію переміщення s тіла за деякий час t. Виділимо на осі часу деякий малий проміжок часу Δt. Якщо цей проміжок часу досить малий, то і зміна швидкості за цей проміжок невелика, тобто рух протягом цього проміжку часу можна вважати рівномірним з деякою середньою швидкістю, яка дорівнює миттєвої швидкості υ тіла в середині проміжку Δt. Отже, переміщення Δs за час Δt дорівнюватиме Δs \u003d υΔt. Це переміщення дорівнює площі заштрихованої на рис. смужки. Розбивши проміжок часу від 0 до деякого моменту t на малі проміжки Δt, можна отримати, що переміщення s за заданий час t при рівноприскореному прямолінійному русі дорівнює площі трапеції ODEF. Відповідні побудови виконані на рис. для графіка II. Час t прийнято рівним 5,5 с.

(3) - отримана формула дозволяє визначити переміщення при рівноприскореному русі якщо прискорення не відомо.

Якщо підставити в рівняння (3) вираз для швидкості (2), то отримуємо (4) - ця формула використовується для запису рівняння руху тіла: (5).

Якщо виразити з рівняння (2) час руху (6) і підставити в рівність (3), то

Ця формула дозволяє визначити переміщення при невідомому часу руху.

Розглянемо, як розраховується проекція вектора переміщення тіла, що рухається рівноприскореному, якщо його початкова швидкість v 0 дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння

буде виглядати так:

Перепишемо це рівняння, підставивши в нього замість проекцій s x і а х модулі s і a векторів

переміщення і прискорення. Оскільки в даному випадку вектори sua спрямовані в одну сторону, їх проекції мають однакові знаки. Тому рівняння для модулів векторів можна записати:

З цієї формули випливає, що при прямолінійному рівноприскореному русі без початкової швидкості модуль вектора переміщення прямо пропорційний квадрату проміжку часу, протягом якого це переміщення було скоєно. Це означає, що при збільшенні в n раз часу руху (який починається від моменту початку руху) переміщення збільшується в n 2 разів.

Наприклад, якщо за довільний проміжок часу t 1 від початку руху тіло вчинила переміщення

то за проміжок часу t 2 \u003d 2t 1 (відлічуваний від того ж моменту, що і t 1) воно зробить переміщення

за проміжок часу t n \u003d nt l - переміщення s n \u003d n 2 s l (де n - натуральне число).

Ця залежність модуля вектора переміщення від часу при прямолінійній рівноприскореному русі без початкової швидкості наочно відображена на малюнку 15, де відрізки ОА, OB, ОС, OD і ОЕ є модулі векторів переміщень (s 1, s 2, s 3, s 4 і s 5), скоєних тілом відповідно за проміжки часу t 1, t 2 \u003d 2t 1, t 3 \u003d 3t 1, t 4 \u003d 4t 1 і t 5 \u003d 5t 1.

Мал. 15. Закономірності равноускоренного руху: ОА: ОВ: ОС: OD: 0E \u003d 1: 4: 9: 16: 25; OA: AB: BC: CD: DE \u003d 1: 3: 5: 7: 9

З цього малюнка видно, що

ОА: ОВ: ОС: OD: ОЕ \u003d 1: 4: 9: 16: 25, (1)

т. е. при збільшенні проміжків часу, відлік яких ведеться від початку руху, в ціле число разів у порівнянні з t 1, модулі відповідних векторів переміщень зростають як ряд квадратів послідовних натуральних чисел.

З малюнка 15 видно ще одна закономірність:

ОА: АВ: ВС: CD: DE \u003d 1: 3: 5: 7: 9, (2)

т. е. модулі векторів переміщень, що здійснюються тілом за послідовні рівні проміжки часу (кожен з яких дорівнює t 1), відносяться як ряд послідовних непарних чисел.

Закономірності (1) і (2) притаманні тільки рівноприскореного руху. Тому ними можна користуватися, якщо необхідно визначити, є рух рівноприскореному чи ні.

Визначимо, наприклад, чи було рівноприскореному рух равлики, яка за перші 20 з руху перемістилася на 0,5 см, за другі 20 с - на 1,5 см, за треті 20 с - на 2,5 см.

Для цього знайдемо, у скільки разів переміщення, вчинені за другий і третій проміжки часу, більше, ніж за перший:

Значить, 0,5 см: 1,5 см: 2,5 см \u003d 1: 3: 5. Оскільки ці відносини являють собою ряд послідовних непарних чисел, то рух тіла було рівноприскореному.

В даному випадку рівноприскореного характер руху було виявлено на підставі закономірності (2).

питання

1. За якими формулами розраховуються проекція і модуль вектора переміщення тіла при його рівноприскореному русі зі стану спокою?
2. У скільки разів збільшиться модуль вектора переміщення тіла при збільшенні часу його руху зі стану спокою в n раз?
3. Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень тіла, що рухається рівноприскореному зі стану спокою, при збільшенні часу його руху в ціле число разів у порівнянні з t 1.
4. Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень, що здійснюються тілом за послідовні рівні проміжки часу, якщо це тіло рухається рівноприскореному зі стану спокою.
5. З якою метою благається використовувати закономірності (1) і (2)?

Вправа 8

1. Відходить від станції поїзд протягом перших 20 з рухається прямолінійно і рівноприскореному. Відомо, що за третю секунду від початку руху поїзд пройшов 2 м. Визначте модуль вектора переміщення, вчиненого поїздом за першу секунду, і модуль вектора прискорення, з яким він рухався.
2. Автомобіль, рухаючись рівноприскореному зі стану спокою, за п'яту секунду розгону проходить 6,3 м. Яку швидкість розвинув автомобіль до кінця п'ятого секунди від початку руху?
3. Деякий тіло за перші 0,03 с руху без початкової швидкості перемістилося на 2 мм, за перші 0,06 с - на 8 мм, за перші 0,09 с - на 18 мм. На підставі закономірності (1) доведіть, що протягом всіх 0,09 с тіло рухалося равноускоренно.