Distribuția Boltzmann pentru particulele dintr-un câmp potențial extern
Gazul, care nu este afectat de câmpul de forță extern, umple uniform volumul în care este situat, datorită aleatoriei mișcării termice a moleculelor. Dacă forțele externe acționează asupra moleculelor de gaz, atunci concentrația gazului nu va fi aceeași în toate punctele din volum. Luați în considerare, ca exemplu, gazul atmosferic din câmpul gravitațional. Dacă nu ar exista mișcare termică, atunci toate moleculele atmosferei ar coborî la suprafața Pământului sub influența gravitației și atmosfera Pământului nu ar putea exista. Cu toate acestea, acest lucru este prevenit de mișcarea haotică a moleculelor, care contribuie la procesul opus - tendința gazului atmosferic de a dispersa și umple uniform întregul Univers. În consecință, atmosfera Pământului poate exista datorită acestor doi factori într-o anumită stare de echilibru, în care densitatea sa, concentrația moleculelor și presiunea vor depinde de coordonatele spațiale.
Să găsim legea variației acestor cantități în funcție de înălțimea de deasupra suprafeței Pământului. Vom presupune că gazul se află într-o stare de echilibru termodinamic și că temperatura acestuia este aceeași peste tot. Selectăm o anumită coloană de gaz sub forma unui cilindru cu o secțiune transversală s și direcționăm axa zde-a lungul coloanei în direcția de la suprafața Pământului. Setați originea coordonatei zpe suprafața Pământului (Fig. 19.3).
Evidențiați la înălțime zgrosimea elementară a coloanei de gaz dzși profitați de faptul că acest strat, la fel ca întregul stâlp, se află într-o stare de echilibru mecanic. Aceasta înseamnă că rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra stratului este zero. Smochin. 19.3 arată că rezultatul este format din trei forțe: două forțe de presiune F Mână F B , acționând asupra bazei inferioare și superioare a stratului și asupra forței gravitaționale dPstratul în sine. Să denotăm presiunea gazului în punctele bazei inferioare p, și în punctele bazei superioare p + dp.Atunci
F H \u003d pS; F B \u003d (p + dp) S; dP \u003dρ gSdz,
unde ρ este densitatea stratului de aer.
Luând în considerare direcția forțelor, starea de echilibru a stratului este scrisă ca
F B + dP \u003d F H (18,28)
(R+ dp) S+ ρ gSdz \u003d pS.(18.29)
Extinzând parantezele din (18.29), obținem ecuația diferențială
dp \u003d -ρ gdz.(18.30)
Din ecuația Clapeyron - Mendeleev rezultă că densitatea gazului este legată de presiune prin formulă
unde t aeste masa unei molecule de gaz.
Folosind (18.31), transformăm ecuația diferențială (18.30) în formă
. (18.32)
Integrând această ecuație peste înălțimea de la 0 la z, obținem
, (18.33)
unde ln p 0 - constantă de integrare.
Prin potențare (18.33), avem
Din (18.34) se vede că p 0dă sens presiunii atmosferei de pe suprafața Pământului, unde z \u003d 0.
Ecuația rezultată determină dependența presiunii atmosferice în apropierea Pământului de înălțimea deasupra nivelului mării. După cum v-ați aștepta, presiunea scade odată cu creșterea altitudinii. În conformitate cu formula (18.34), care se numește barometrică, această scădere respectă o lege exponențială. Măsurând presiunea pe un barometru, calibrat în conformitate cu formula barometrică, este posibil să se determine înălțimea unui obiect deasupra suprafeței Pământului. Un astfel de dispozitiv se numește altimetru și este utilizat pe scară largă în aviație.
Folosind formula barometrică, este ușor să se stabilească legea distribuției concentrației moleculelor de-a lungul înălțimii hdeasupra suprafeței Pământului. În acest scop, vom folosi ecuația de stare ideală a gazului p \u003d nkT.În această formulă, presiunea rși concentrația moleculelor pdepind de altitudine, în timp ce temperatura Tconstantă în conformitate cu presupunerea că gazul se află într-o stare de echilibru termodinamic. Din ecuația de stare și formula barometrică pentru concentrație pla inaltime hurmează:
, (18.35)
unde n 0- concentrația moleculelor de aer la h= 0.
Acordând atenție faptului că exponentul din partea dreaptă a (18.35) include energia potențială a moleculei în câmpul gravitațional W POT \u003d m a gh,rescrie (18.35) în formă
. (18.36)
Se pare că expresia (18.36) pentru distribuția moleculelor are un caracter general și este valabilă pentru particulele dintr-un câmp potențial extern de orice fel. Această distribuție se numește distribuția Boltzmann.
În distribuția Boltzmann (18.36) sub n 0ar trebui să înțelegem concentrația moleculelor într-un punct din câmp unde energia lor potențială este zero, W POT \u003d 0 și peste concentrația moleculelor în punctul în care se află energia lor potențială W POT.
După cum se știe, densitatea gazului ρ este direct proporțională cu concentrația moleculelor p.Prin urmare, folosind (18.35), este ușor să arătăm că distribuția densității aerului în atmosfera Pământului va fi descrisă prin expresia:
, (18.37)
unde Meste masa molară a gazului.
Din (18.34), (18.35) și (18.37) rezultă că în atmosfera Pământului p, niar ρ de aer scade uniform odată cu creșterea altitudinii.
Având în vedere această concentrare peste prin definiție egal cu , unde dN- numărul de molecule dintr-un volum elementar dV, distribuția Boltzmann poate fi reprezentată în formă
Atunci când se ia în considerare teoria cinetică a gazelor și legea de distribuție a lui Maxwell, s-a presupus că nu acționează forțe asupra moleculelor de gaz, cu excepția impactului moleculelor. Prin urmare, moleculele sunt distribuite uniform în vas. În realitate, moleculele oricărui gaz se află întotdeauna în câmpul gravitațional al Pământului. În consecință, fiecare moleculă de masă m experimentează acțiunea gravitației f \u003d mg.
Să selectăm elementul orizontal al volumului gazului cu înălțimea dh și zona de bază S (Fig. 11.2). Considerăm că gazul este omogen și temperatura sa este constantă. Numărul de molecule din acest volum este egal cu produsul volumului său dV \u003d Sdh cu numărul de molecule pe unitate de volum. Greutatea totală a moleculelor din elementul selectat este
Acțiunea greutății dF determină o presiune egală cu
 | (11.2) |
minus - pentru că pe măsură ce dh crește, presiunea scade. Conform ecuației de bază a teoriei cinetice moleculare, echivalând laturile din dreapta ale (11.2) și (11.3), obținem
Sau
Integrarea acestei expresii în intervalul de la la h (respectiv, concentrația se schimbă de la la n):
Primim
Potențând expresia rezultată, găsim
Exponentul la exp are un factor care determină creșterea energiei potențiale a moleculelor de gaz. Dacă mutați o moleculă de la nivel la nivel h, atunci schimbarea energiei sale potențiale va fi Atunci ecuația pentru concentrația moleculelor este transformată în formă
Această ecuație reflectă legea generală a lui Boltzmann și oferă distribuția numărului de particule în funcție de energia lor potențială. Este aplicabil oricărui sistem de particule dintr-un câmp de forță, de exemplu, într-unul electric.
28. Mișcare browniană. Coliziunea moleculelor dintr-un gaz. Lungimea drumului liber.
Mișcarea browniană este o mișcare haotică continuă a particulelor mici suspendate într-un lichid sau gaz (se presupune că gravitația nu afectează mișcarea lor). Într-un gaz, mișcarea browniană este realizată, de exemplu, de particule de praf sau fum suspendate în aer. Mișcarea browniană a unei particule are loc deoarece impulsurile cu care acționează moleculele unui lichid sau gaz asupra acestei particule nu se anulează reciproc. Moleculele mediului (adică moleculele unui gaz sau lichid) se mișcă haotic, astfel încât impactul lor determină o particulă browniană să se miște aleatoriu: o particulă browniană își schimbă rapid viteza în direcție și magnitudine. Mișcarea browniană este o mișcare termică, a cărei intensitate crește odată cu temperatura mediului și continuă la nesfârșit fără modificări vizibile. Intensitatea mișcării browniene crește, de asemenea, cu o scădere a dimensiunii și masei particulelor, precum și cu o scădere a vâscozității mediului. Mișcarea browniană servește drept cea mai clară confirmare experimentală a existenței atomilor (moleculelor) și a mișcării lor haotice termice. Calea liberă medie a unei molecule este distanța medie pe care o parcurge o particulă în timpul căii libere de la o coliziune la alta. Calea liberă medie a fiecărei molecule este diferită; prin urmare, conceptul căii libere medii este introdus în teoria cinetică. Cantitatea este o caracteristică a întregului set de molecule de gaz la valori date de presiune și temperatură.
Înlocuind p prin nkT în formula barometrică, obținem legea modificării concentrației gazului cu înălțimea:
Unde n 0 - concentrația gazului la înălțimea h \u003d 0
Transformăm, înlocuind M / R cu raportul m 0 / k
Unde m 0 este masa unei molecule, k este constanta Boltzmann
Pe măsură ce temperatura scade, concentrația gazului la altitudini diferite de zero scade, transformându-se în zero la o temperatură T \u003d 0
La zero absolut, toate moleculele de aer ar fi situate pe suprafața pământului.
La temperaturi ridicate, dimpotrivă, concentrația scade slab odată cu înălțimea.
Distribuția moleculelor de gaz rezultă din acțiunea a două tendințe „concurente”: 1. atracție către pământ, 2. mișcare termică
La înălțimi diferite, molecula are energie potențială diferită \u003d\u003e distribuția moleculelor de gaz de-a lungul înălțimii, este în același timp distribuția lor în funcție de valorile energiei potențiale.
Astfel, obținem:
Din aceasta \u003d\u003e că moleculele sunt localizate cu o concentrație (densitate) mai mare a corpului, unde energia lor potențială este mai mică și invers, cu o densitate mai mică în locurile în care energia lor potențială este mai mare.
Numărul mediu de coliziuni și calea liberă medie a moleculelor .
Moleculele de gaz, aflându-se într-o stare de mișcare haotică, se ciocnesc între ele. Între două coliziuni succesive, moleculele trec pe o anumită cale l, numită cale liberă. În cazul general, lungimea căii dintre coliziunile succesive este diferită, dar din moment ce avem de-a face cu un număr imens de molecule și acestea sunt în mișcare aleatorie, atunci putem vorbi despre calea liberă medie a moleculelor
Distanța minimă la care centrele a două molecule se apropie una de alta într-o coliziune se numește diametrul molecular efectiv d (Fig. 68). Depinde de viteza moleculelor care se ciocnesc, adică de temperatura gazului (scade ușor odată cu creșterea temperaturii).
Deoarece în 1 s molecula trece în medie pe o cale egală cu viteza medie aritmetică
Pentru determinare
Numărul mediu de coliziuni în 1 s este egal cu numărul de molecule din volumul cilindrului „rupt”:
unde n este concentrația moleculelor, V \u003d pd2
Calculele arată că luând în considerare mișcarea altor molecule
Formula barometrică pentru dependența presiunii sau densității gazului de altitudine în câmpul gravitațional. Pentru un gaz ideal având o temperatură constantă T și situat într-un câmp gravitațional uniform în toate punctele volumului său, accelerația cădere liberă g formula la fel de barometrică are următoarea formă: unde p este presiunea gazului din stratul situat la înălțimea h p0 presiunea la nivelul zero h \u003d h0 M masa molară de gaz R constantă a gazului T temperatura absolută. Din formula barometrică rezultă că concentrația moleculelor este n sau ...
45 Formula barometrică. Legea lui Boltzmann pentru distribuția particulelor într-un câmp potențial extern.
Formula barometrică - dependența presiunii sau densității gazului de altitudine în câmpul gravitațional. Pentrugaz ideal cu temperatura constantaT și situat într-un câmp gravitațional uniform (în toate punctele volumului săuaccelerarea gravitațieig aceeași), formula barometrică este următoarea:
unde p - presiunea gazului într-un strat situat la înălțimeh, p 0 - presiune la nivel zero (h \u003d h 0), M - masa molară de gaz,R - constantă de gaz, T - temperatura absolută... Din formula barometrică rezultă că concentrația moleculelorn (sau densitatea gazului) scade odată cu înălțimea conform aceleiași legi:
unde M - masa molară de gaz,R - constanta gazului.
Formula barometrică arată că densitatea unui gaz scade exponențial cu înălțimea. Cantitatea
, care determină rata de scădere a densității, este raportul dintre energia potențială a particulelor și energia cinetică medie a acestora, proporțional cukT ... Cu cât temperatura este mai mareT , cu cât densitatea scade mai încet cu înălțimea. Pe de altă parte, o creștere a gravitațieimg (la o temperatură constantă) duce la o compactare semnificativ mai mare a straturilor inferioare și la o creștere a gradientului de densitate (gradient). Gravitația care acționează asupra particulelormg poate fi modificat datorită a două valori: accelerațiag și mase de particule m.
În consecință, într-un amestec de gaze într-un câmp gravitațional, molecule de diferite mase sunt distribuite în moduri diferite de-a lungul înălțimii.
Să fie un gaz ideal în câmpul forțelor conservatoare în condiții de echilibru termic. În acest caz, concentrația gazului va fi diferită în puncte cu energii potențiale diferite, ceea ce este necesar pentru a respecta condițiile de echilibru mecanic. Deci, numărul de molecule dintr-o unitate de volumn scade odată cu distanța față de suprafața Pământului și presiunea, datorită raportuluiP \u003d nkT, cade.
Dacă se cunoaște numărul de molecule dintr-o unitate de volum, atunci se cunoaște și presiunea și invers. Presiunea și densitatea sunt proporționale între ele, deoarece temperatura în cazul nostru este constantă. Presiunea trebuie să crească odată cu scăderea înălțimii, deoarece stratul inferior trebuie să susțină greutatea tuturor atomilor de deasupra.
Pe baza ecuației de bază a teoriei cinetice moleculare:P \u003d nkT, înlocuiți P și P 0 în formula barometrică (2.4.1) pen și n 0 și obținem distribuție Boltzmann pentru masă molară gaz:
|
(2.5.1) |
unde n 0 și n - numărul de molecule dintr-o unitate de volum la o înălțimeh \u003d 0 și h.
Din moment ce a , atunci (2.5.1) poate fi reprezentat ca
|
(2.5.2) |
Odată cu scăderea temperaturii, numărul moleculelor la altitudini diferite de zero scade. CândT \u003d 0 mișcare termică se oprește, toate moleculele ar fi situate pe suprafața pământului. Când temperaturi maridimpotrivă, moleculele sunt distribuite peste înălțime aproape uniform, iar densitatea moleculelor scade încet cu înălțimea. pentru cămgh Este energia potențialăU , apoi la diferite înălțimiU \u003d mgh - diferit. Prin urmare, (2.5.2) caracterizează distribuția particulelor peste valorile energiei potențiale:
|
(2.5.3) |
aceasta este legea distribuției particulelor după energiile potențiale - distribuția Boltzmann. Aici n 0 Este numărul de molecule pe unitate de volum undeU \u003d 0.
Figura 2.11 arată dependența de înălțime a concentrației diferitelor gaze. Se vede că numărul moleculelor mai grele scade cu înălțimea mai repede decât numărul celor ușoare.
Figura: 2.11
Din (2.5.3), se poate obține că raportul dintre concentrațiile moleculelor în puncte cuU 1 și i\u003e U 2 este egal cu:
|
(2.5.4) |
Boltzmann a demonstrat că relația (2.5.3) este valabilă nu numai în câmpul potențial al forțelor gravitaționale, ci și în orice câmp potențial, pentru un set de particule identice într-o stare de mișcare termică haotică.
Și, de asemenea, alte lucrări care vă pot interesa |
|||
| 42675. | Studiul proiectării și verificării traductorului de măsurare a presiunii de tip "Sapphire - 22DI" | 35,5 KB | |
| Berezniki 2003 Scopul lucrării este de a face cunoștință cu principiul de funcționare și proiectarea traductorului de măsurare de tip Sapfir22DI; verificați traductorul de măsurare de tip Sapfir22DI; dobândiți abilități în determinarea presiunii folosind traductoare de măsurare precum Safir. Standurile sunt destinate lucrărilor de laborator la verificarea unui miliametru automat KSU2 complet cu un traductor de presiune Sapphire22DI. Al doilea stand este echipat cu un miliammetru automat KSU2, terminale miliammetru ... | |||
| 42676. | Studiul proiectării și verificării dispozitivului secundar RP160 | 40,5 KB | |
| Scopul lucrării este familiarizarea cu funcționarea sistemului de măsurare pentru măsurarea temperaturii în set, pirometrul de rezistență este înlocuit de o cutie de rezistență, convertorul de normalizare NPSL, dispozitivul secundar RP160. Ordinea de lucru: Ne-am familiarizat cu schema de conectare a cutiei de rezistență a convertorului de normalizare al dispozitivului secundar; Rezistență instalată rezistență la stocare 4171 atm. temperatura corespunzătoare unei temperaturi de 50C a fost citită pe scara dispozitivului RP160; Calculat valoarea ... | |||
| 42677. | Studiul și cercetarea metodei de măsurare a temperaturii termoelectrice | 96 KB | |
| În același timp, elevii stăpânesc tehnica de verificare a potențiometrului automat KSP4 completat cu un potențiometru de calibrare a scării exemplar UPIP60M. cutie de rezistență R4 R10 și borne pentru conectarea unui potențiometru UPIP60M exemplar. Verificarea potențiometrului automat KSP4. Pentru a verifica calibrarea scalei potențiometrului automat KSP4, se montează un circuit conform figurii. | |||
| 42678. | Studiul funcționării unui manometru lichid în formă de U și a unui set de instrumente pentru măsurarea presiunii ramurii pneumatice a GSP | 403,5 KB | |
| Berezniki 2007 Scopul lucrării în procesul de efectuare a lucrărilor de laborator, studenții își consolidează cunoștințele despre secțiunea Măsurarea presiunii și transmiterea la distanță a semnalului de măsurare a informațiilor cursului teoretic Măsurători tehnice și dispozitive. Elevii se familiarizează cu principiul de funcționare al dispozitivului traductorului de măsurare a presiunii diferențiale 13DD11 complet cu dispozitivul secundar RPV4. Standul este conceput pentru a efectua lucrări de laborator pentru a studia funcționarea unui traductor de măsurare a presiunii diferențiale ... | |||
| 42680. | 278 KB | ||
| Familiarizați-vă cu procedurile de bază premergătoare stabilirii resursei aeronavei; metode de schematizare a proceselor de încărcare. Pregătiți raportul nr. 1 privind lucrările de laborator sub forma unui sinopsis scris de mână, cu ilustrațiile necesare. În raport, furnizați răspunsuri detaliate la toate întrebările de mai jos. | |||
| 42681. | Investigarea procesului de testare a materialelor structurale sub încărcare aleatorie | 40 KB | |
| Familiarizați-vă cu ipotezele acumulării de daune; Spectre de încărcare standardizate utilizate în studiul caracteristicilor de oboseală ale aeronavelor. ÎNTREBĂRI Care este semnificația conceptului de acumulare de daune liniare în timpul oboselii Principalele dezavantaje ale ipotezei de acumulare a daunelor liniare Care este semnificația ipotezelor modificate ... | |||
| 42682. | Sisteme de control automat pentru starea tehnică a aeronavei. Eliminarea deformării aliajelor îmbrăcate ca indicator al istoricului de încărcare | 1,63 MB | |
| Familiarizați-vă cu problemele de concentrare a stresului și cu factorii care o determină; principiile construcției unui sistem automat pentru monitorizarea stării tehnice a unei aeronave; relief de deformare, care este un indicator al deteriorării structurii aeronavei. Pe desenul tipărit al aeronavei A380, format A2, aplicați exemple de aplicare a sistemelor de monitorizare a integrității structurale. ÎNTREBĂRI CE ESTE ... | |||
| 42683. | Tehnici de bază de lucru în SGBD Microsoft Access | 292 KB | |
| Metode de bază de lucru în DBMS Microsoft ccess Aplicația ccess este un program inclus în pachetul Microsoft Office și este conceput pentru a funcționa cu baze de date. Bază de date. Într-un sens general, termenul de bază de date poate fi aplicat oricărui set de informații conexe combinate împreună conform unui anumit criteriu, organizat în conformitate cu anumite reguli care prevăd principii generale descrierea stocării și manipulării datelor care se referă la un anumit subiect. Sistem de gestionare a bazelor de date SGBD aplicat ... | |||
23. Formula barometrică. Distribuția Boltzmann pentru particulele dintr-un câmp potențial extern.
legea presiunii se schimbă cu înălțimea, presupunând că câmpul gravitațional este uniform, temperatura este constantă și masa tuturor moleculelor este aceeași
Expresia (45.2) se numește formula barometrică. Vă permite să găsiți presiunea atmosferică în funcție de altitudine sau, măsurând presiunea, să găsiți altitudinea: Deoarece înălțimile sunt indicate în raport cu nivelul mării, unde presiunea este considerată normală, expresia (45.2) poate fi scrisă ca
unde r - presiunea la înălțime h.
Formula barometrică (45.3) poate fi transformată folosind expresia (42.6) p= nkT:
unde n - concentrația moleculelor la înălțime h, n 0 - la fel, la înălțime h= 0. Din moment ce M = m 0 N A ( N A este constanta lui Avogadro, t 0 – masa unei molecule), a R= kN A , atunci
unde m 0 gh\u003d P este energia potențială a unei molecule într-un câmp gravitațional, adică
Expresia (45.5) se numește distribuție Boltzmann pentru un câmp potențial extern. Din veto rezultă că la temperatură constantă densitatea gazului este mai mare acolo unde energia potențială a moleculelor sale este mai mică.
Dacă particulele au aceeași masă și se află într-o stare de mișcare termică haotică, atunci distribuția Boltzmann (45.5) este valabilă în orice câmp potențial extern și nu numai în câmpul gravitațional.
24. Legea distribuției uniforme a energiei pe grade de libertate. Numărul de grade de libertate. Energia cinetică medie a mișcării termice a moleculelor.
Energia cinetică medie a unei molecule care are i-grade de libertate contează Aceasta este legea lui Boltzmann privind distribuția uniformă a energiei cinetice medii peste gradele de libertate. Moleculele pot fi considerate ca sisteme de puncte materiale (atomi) care efectuează atât mișcări de translație, cât și mișcări de rotație. Când un punct se mișcă de-a lungul unei linii drepte, pentru a-i estima poziția, este necesar să se cunoască o coordonată, adică un punct are un grad de libertate. Dacă punctul de mișcare se află pe un plan, poziția sa este caracterizată prin două coordonate; punctul are două grade de libertate. Poziția unui punct în spațiu este determinată de 3 coordonate. Numărul de grade de libertate este de obicei notat cu litera i. Moleculele care constau dintr-un atom obișnuit sunt considerate puncte materiale și au trei grade de libertate (argon, heliu). Energia cinetică medie a moleculelor de gaz (pe moleculă) este determinată de expresia Energia cinetică a mișcării de translație a atomilor și moleculelor, calculată în medie pe un număr mare de particule în mișcare aleatorie, este o măsură a ceea ce se numește temperatura. Dacă temperatura T este măsurată în grade Kelvin (K), atunci legătura sa cu Ek este dată de relația Din ecuațiile (6) și (7), se poate determina valoarea vitezei rădăcină-medie-pătrat a moleculelor 
Energia internă a unui gaz ideal este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor particulelor de gaz în mișcare termică continuă și aleatorie. De aici urmează legea lui Joule, confirmată de numeroase experimente. Energia internă a unui gaz ideal depinde doar de temperatura acestuia și nu depinde de volum.Moleculele depind de distanța dintre ele, în general, energia internă U a corpului depinde, împreună cu temperatura T, de asemenea volumul V: U \u003d U (T, V). Se obișnuiește să spunem că energia internă este o funcție a statului.
| " |
