Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Описане коло

Визначення: коло називається описаним біля трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на цьому колі. На якому малюнку коло описано біля трикутника: 1) 2) 3) 4) 5) Якщо коло описано біля трикутника, то трикутник вписаний у коло.

Теорема. Біля трикутника можна описати коло, і до того ж лише одну. Її центр - точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. А В С Дано: АВС Довести: існує Окр.(О; r), описана біля АВС. Доказ: Проведемо серединні перпендикуляри p, k,n до сторін АВ, ВС, АС За якістю серединних перпендикулярів до сторін трикутника (чудова точка трикутника): вони перетинаються в одній точці – О, на яку ОА = ОВ = ОС. Т. е. всі вершини трикутника рівновіддалені від точки О, значить, вони лежать на колі з центром О. Отже, коло описано біля трикутника АВС. Про n p k

Важлива властивість: Якщо коло описано біля прямокутного трикутника, його центр – середина гіпотенузи. O R R C A B R = ½ AB Завдання: знайти радіус кола, описаного біля прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 3 см і 4 см. Центр кола, описаного біля тупокутного трикутника, лежить поза трикутником.

a b c R R = Формули для радіусу описаного біля трикутника кола Завдання: знайти радіус кола, описаного біля рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 4 см. Рішення: R = R = , Відповідь: см (см)

Завдання: в коло, радіус якого 10 см, вписаний рівнобедрений трикутник. Висота, проведена до його основи, дорівнює 16 см. Знайти бічну сторону і площу трикутника. А В С О Н Рішення: Т. до. коло описано біля рівнобедреного трикутника АВС, то центр кола лежить на висоті ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АВН – прямокутний, АО 2 = АН 2 + АН 2 , АН 2 = 10 2 – 6 2 = 64, АН = 8 см АВН - прямокутний, АВ 2 = АН 2 + ВН 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256 = 320, АВ = (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), S АВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см 2) Відповідь: АВ = см S = 128 см 2 Знайти: АВ, S АВС Дано: АВС-р/б, ВН АС, ВН = 16 см Окр.(О 10 см) описана біля АВС

Визначення: коло називається описаним біля чотирикутника, якщо всі вершини чотирикутника лежать на колі. Теорема. Якщо близько чотирикутника описано коло, то сума його протилежних кутів дорівнює 1800. Доказ: Оскільки окружність описана при АВС D , то А, В, С, D – вписані, отже, А + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ (BCD + BAD) = ½ · 360 0 = 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC + ABC) = ½ · 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 Дано: Дов. C = B + D = 180 0 Інше формулювання теореми: у вписаному в коло чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 0 . A B C D Про

Зворотна теорема: якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180 0 то біля нього можна описати окружність. Дано: АВС D, A + C = 180 0 A B C D Про Довести: Окр.(О; R) описана біля АВС D Доказ: № 729 (підручник) Навколо якого чотирикутника не можна описати коло?

Наслідок 1: біля будь-якого прямокутника можна описати коло, його центр – точка перетину діагоналей. Наслідок 2: при рівнобедреній трапеції можна описати коло. А В С К

Розв'яжи задачі 80 0 120 0 ? ? А В С М К Н О Р Е 70 0 Знайти кути чотирикутника РКЕН: 80 0

На якому малюнку коло вписано в трикутник?

Якщо коло вписано в трикутник,

то трикутник описаний біля кола.

Теорема. У трикутник можна вписати коло, і до того ж лише одну. Її центр – точка перетину бісектрис трикутника.

Дано: АВС

Довести: існує Окр.(О; r),

вписана в трикутник

Доказ:

Проведемо бісектриси трикутника: АА 1 , ВР 1 , СС 1 .

За властивістю (чудова точка трикутника)

бісектриси перетинаються в одній точці - О,

і ця точка рівновіддалена від усіх сторін трикутника, тобто:

ОК = ОЕ = ОР, де ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, отже,

О – центр кола, а АВ, ПС, АС – дотичні до неї.

Отже, коло вписано АВС.

Дано: Окр.(О; r) вписана в АВС,

р = ½ (АВ + ВС + АС) – напівпериметр.

Довести: S ABC = p · r

Доказ:

з'єднаємо центр кола з вершинами

трикутника і проведемо радіуси

кола в точки торкання.

Ці радіуси є

висотами трикутників АОВ, ВОС, СОА.

S ABC = S AOB + S BOC + S AOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =

= ½ (AB + BC + AC) · r = ½ p · r.

Завдання: у рівносторонній трикутник зі стороною 4 см

вписано коло. Знайдіть її радіус.

Висновок формули для радіусу вписаного в трикутник кола

S = p · r = ½ P · r = ½ (a + b + c) · r

2S = (a + b + c) · r

Потрібна формула для радіусу кола,

вписаний у прямокутний трикутник

- катети, з - гіпотенуза

Визначення: коло називається вписаною в чотирикутник, якщо всі сторони чотирикутника торкаються її.

На якому малюнку коло вписано в чотирикутник:

Теорема: якщо в чотирикутник вписано коло,

то суми протилежних сторін

чотирикутника рівні (у будь-якому описаному

чотирикутник суми протилежних

сторін рівні).

АВ + СК = НД + АК.

Зворотна теорема: якщо суми протилежних сторін

опуклого чотирикутника рівні,

то в нього можна вписати коло.

Завдання: в ромб, гострий кут якого 60 0 вписана коло,

радіус якої дорівнює 2 см. Знайти периметр ромба.

Розв'яжи задачі

Дано: Окр.(О; r) вписана в АВСЬК,

Р АВСК = 10

Знайти: НД + АК

Дано: АВСМ описаний біля Окр.(О; r)

BC = 6, AM = 15,

OA = OB O b => OB = OC => O серединного перпендикуляра до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC =>" title="(!LANG:Теорема 1 Доказ: 1) а – серединний перпендикуляр до АВ 2) b – серединний перпендикуляр до BC 3) ab=O 4) O a = > OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC =>" class="link_thumb"> 8 !}Теорема 1 Доказ: 1) а – серединний перпендикуляр до АВ 2) b – серединний перпендикуляр до BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединного перпендикуляра до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC => OA = OB O b => OB = OC => O серединного перпендикуляра до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC =>"> OA = OB O b => OB = OC => O серединного перпендикуляра до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC =>" title="(!LANG:Теорема 1 Доказ: 1) а – серединний перпендикуляр до АВ 2) b – серединний перпендикуляр до BC 3) ab=O 4) O a = > OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC =>"> title="Теорема 1 Доказ: 1) а – серединний перпендикуляр до АВ 2) b – серединний перпендикуляр до BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединного перпендикуляра до AC => близько тр. ABC можна описати коло ba =>OA=OC =>"> !}

Властивості трикутника і трапеції, вписаних в коло Центр окр-ти, описаної біля п/у тр-ка, лежить на середині гіпотенузи Центр окр-ти, описаної біля гострокутного тр-ка, лежить у тр-ці Центр окр-ти, описаної близько тупокутного тр-ка, не лежить у тр-ке Якщо близько трапеції можна описати окр-ть, вона рівнобедренная

«Алгебра та геометрія» - Жінка навчає дітей геометрії. Прокл був уже, мабуть, останнім представником грецької геометрії. За межами 4-го ступеня таких формул для загального розв'язування рівнянь немає. Посередниками між еллінською та новою європейською наукою з'явилися араби. Було поставлене питання про геометризацію фізики.

«Терміни з геометрії» - Бісектриса трикутника. Абсцис точки. Діагональ. Словник з геометрії. Окружність. Радіус. Периметр трикутника. Вертикальні кути. Терміни. Кут. Хорда кола. Ви можете додати свої терміни. Теорема. Виберіть першу літеру. Геометрія. Електронний словник. Ламана. Циркуль. Сумежні кути. Медіана трикутник.

"Геометрія 8 клас" - Так перебираючи теореми, можна дістатися аксіом. Концепція теореми. Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. а2+в2=с2. Концепція аксіом. Кожне математичне твердження, яке отримується шляхом логічного доказу, є теорема. Будь-яка будівля має фундамент. Кожне твердження спирається на доведені.

"Наочна геометрія" - Квадрат. Конверт № 3. Допоможіть, будь ласка, хлопці, бо Матроскін мене зовсім зі світу Зживе. Усі сторони квадрата рівні. Квадрати довкола нас. Скільки квадратів зображено на малюнку? Завдання на уважність. Конверт № 2. Усі кути квадрата прямі. Дорогий Шарик! Наочна геометрія, 5 клас. Відмінні властивості Різна довжина сторін.

"Початкові геометричні відомості" - Евклід. Читання. Що кажуть постаті про нас. На малюнку виділена частина прямої, обмежена двома точками. Через одну точку можна провести скільки завгодно різних прямих. Математика. У геометрії немає царського шляху. Запис. Додаткові завдання. Планіметрія. Позначення. Сторінки "Початок" Евкліда. Платон (477-347 е.) - давньогрецький філософ, учень Сократа.

"Таблиці з геометрії" - Таблиці. Розмноження вектора на число Осьова та центральна симетрія. Стосовно кола Центральні та вписані кути Вписане та описане коло Поняття вектора Складання та віднімання векторів. Зміст: Багатокутники Паралелограм та трапеція Прямокутник, ромб, квадрат Площа багатокутника Площа трикутника, паралелограма та трапеції Теорема Піфагора Подібні трикутники Ознаки подібності трикутників Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника Взаїм